We kunnen veilig stellen dat wiskunde onze meest logisch samenhangende wetenschap is. Toch kent ook deze wetenschap raadsels. In het begin van de twintigste eeuw hadden de filosofen en wiskundigen Bertrand Russell en Alfred North Whitehead het plan om van de wiskunde een volledig sluitend samenhangend stelsel te maken. Ze begonnen met stellingen die als waar aangenomen werden, en vervolgens moesten andere stellingen logisch hieruit volgen. Dat gaat ongeveer als volgt (we nemen hier de axioma’s van Peano):

• Nul is een getal.
• Elk getal heeft een opvolger en die opvolger is ook een getal.
• Nul is niet de opvolger van enig getal.
• Verschillende getallen hebben verschillende opvolgers.
• Als nul een bepaalde eigenschap heeft en als uit de veronderstelling dat een getal die eigenschap heeft, bewezen is dat zijn opvolger die ook heeft, dan heeft elk getal die eigenschap.

Het plan verliep voorspoedig tot Kurt Gödel, een wiskundig genie, in 1931 met zijn onvolledigheidsstellingen [1] hier een (spreekwoordelijke) bom onder plaatste. Hij beweerde dat je binnen dit systeem stellingen kunt formuleren die onbeslisbaar zijn. Om dit te bewijzen construeert Gödel een zin Z in de formele taal van een axiomatisch systeem A die over zichzelf beweert: Z is niet bewijsbaar in A. Als deze zin waar is, dan is hij dus niet bewijsbaar , want dat is wat hij beweert. Maar dan is een ware zin niet bewijsbaar, en is het systeem A dus onvolledig. Is de zin echter niet waar, dan is hij dus wel bewijsbaar, en is er een onwaarheid bewijsbaar in A.
Varianten hierop zijn:

– Deze zin is niet waar
– Pinokkio zegt: “Mijn neus gaat nu groeien”
– De Kretenzer Epimenides zegt: “Alle uitspraken van Kretenzers zijn altijd gelogen”
– Deze zin bestaat niet.
– De volgende bewering is waar. De vorige is niet waar.
– Volgens Onno kan alles altijd mislukken, zelfs de mislukking.

Deze uitspraken zijn zelfreferenties. Ze verwijzen naar zichzelf. Ze beschrijven zichzelf met een noodzakelijke eigenschap, zonder welke ze niet hetzelfde zijn. Ze zijn ondeelbaar. De voorbeelden zijn grappig, maar de onvolledigheidsstellingen veroorzaakten een schok in de wiskundewereld.

Je kunt hier ingewikkeld over doen, of het eenvoudig houden. Laten we het eenvoudig houden. Een schaar knipt alles, behalve zichzelf. Dat is niet moeilijk. Met wiskundige stellingen kan men een beslisboom maken om een wiskundig bewijs te leveren. Elke nieuwe stelling met het oordeel ‘waar/niet waar’ knipt als een schaar de voorgaande stelling. Totdat alles is opgedeeld en alleen het oordeel, de schaar, overblijft. Dit is ondeelbaar. De stelling van Gödel ‘Z is niet bewijsbaar in A’ is ‘waar’ én ‘niet waar’. De laatste stap die naar zichzelf verwijst is onbeslisbaar. Vergelijk dit met de kleinste (ondeelbare) eenheid van kwantuminformatie, de gedeelde informatie, de verstrengeling. Deze is in superpositie en dus onbepaald.

Het stelsel van de wiskunde is een model van de werkelijkheid. Een berekening of bewering in de formele wiskunde geeft bij herberekening exact dezelfde uitkomst. Wiskunde kent geen emergentie. In een formeel wiskundig model is alle superpositie eruit gehaald. Hierdoor is het voorspelbaar en berekenbaar geworden. Maar waar is de informatie gebleven die bij de overgang van werkelijkheid naar wiskunde verloren is gegaan? Die kan niet verdwenen zijn. Dat zou in strijd zijn met de stelling van behoud van informatie. Net als bij Maxwells demon is deze informatie overgedragen naar (en wordt dan gedeeld met) de waarnemer die daarmee kennis over het systeem gekregen heeft. Op deze wijze wordt de werkelijkheid omgezet in een model. Behalve dan de laatste stap. Het model eindigt bij gedeelde informatie in superpositie. Deze is onbeslisbaar. Superpositie is onvermijdelijk.

Nog even terug naar de Russellparadox
In hoofdstuk 7 kwam de Russellparadox ter sprake. Kan een verzameling zichzelf bevatten? Russell ontdekte dat er situaties zijn waarbij je niet kunt aangeven of een verzameling zichzelf bevat, of niet. De Barbier van Sevilla diende als illustratie. Laten we nu de catalogus paradox als voorbeeld nemen.

Elke bibliotheek herbergt uiteraard vele catalogi. We volgen een bibliothecaris die deze catalogi wil ordenen. Ze ontdekt dat er twee soorten catalogi zijn, namelijk die welke ook zichzelf hebben opgenomen, en die welke dat niet hebben. Dus ze besluit dat er twee verzamelcatalogi moeten komen. Ze maakt eerst een catalogus die alle catalogi heeft opgenomen die zichzelf bevatten. Moet ze de titel van deze verzamelcatalogus ook opnemen in de lijst hiervan? Natuurlijk. Maar bij de verzamelcatalogus die alle catalogi bevatten die niet zichzelf bevatten stuit ze op een dilemma. Moet de titel hiervan opgenomen worden? Wanneer ze dat doet is het geen catalogus meer die alleen titels bevat van catalogi die niet zichzelf bevatten, en hoort de titel daarmee plotseling niet meer in het overzicht. Wanneer ze het niet doet is het een catalogus die niet zichzelf bevat en hoort de titel er wel in. Het kan niet goed gaan. De catalogus moet namelijk zichzelf bevatten wanneer hij dat niet doet. En hij moet niet zichzelf bevatten wanneer hij dat wel doet.

Bij het lemma ‘Verzameling (wiskunde)’ van Wikipedia staat de volgende beschrijving van verzamelingen. “In de wiskunde is een verzameling een collectie van verschillende objecten, elementen genoemd, die zelf ook weer als wiskundig object wordt beschouwd. Het begrip verzameling is een wiskundig basisbegrip. Dat wil zeggen dat het niet verder gereduceerd kan worden tot een samenstel van andere, nog fundamentelere theoretische wiskundige begrippen (axioma’s), maar dat het zelf axiomatisch gedefinieerd moet worden.” Elementen vormen samen een verzameling. En een verzameling vormt op zichzelf een ondeelbaar geheel. Dat kennen we van verstrengelde ‘deeltjes’. Twee verstrengelde ‘deeltjes’ delen informatie waardoor ze niet meer los van elkaar gezien kunnen worden. Ze vormen een ondeelbaar geheel.

De verzamelingenleer is een wiskundig model. Het gaat over bloemenverzamelingen, catalogi of verzamelingen van ideeën. De leer is een poging om alles in een wiskundige model te vatten. Ons project laat zien dat een aanpak met modellen de samenhang, en daarmee de emergentie, verwijdert. En net als bij Gödels onvolledigheidsstellingen is ook de verzamelingenleer niet sluitend te krijgen.

Er is een verschil tussen de paradox van Gödel en die van Russell. Waar de onvolledigheidsstellingen van Gödel concentreren op de elementen (getallen of deeltjes), focust de verzamelingenleer op de overeenkomsten, de relaties. Maar de verzamelingenleer behandelt die overeenkomsten als geïsoleerde verschijnselen. Kijk nog eens naar de animatie/illustraties over deeltjes en relaties die je overal terugziet in dit boek. De verleiding zou kunnen bestaan om relaties als geïsoleerde koppelingen te zien. Maar relaties zijn geen verbindingsstukjes tussen deeltjes, ze vormen de overlapping, de superpositie. Probeer de verleiding te weerstaan bij zowel deeltjes als relaties om ze als geïsoleerde verschijnselen te zien. Uiteindelijk is het onderscheid tussen deeltjes en relaties niet te maken. Het gaat om de combinatie. De superpositie is fundamenteel.

Alles begint, en eindigt, bij superpositie.

De wiskunde is prachtig zoals ze is. Maar inderdaad onvolledig voor het beschrijven van de emergente wekelijkheid. Daarvoor mist de gedeelde informatie, de samenhang.