In deel 1 kwam de Russellparadox ter sprake. Kan een verzameling zichzelf bevatten? Russell ontdekte dat er situaties zijn waarbij je niet kunt aangeven of een verzameling zichzelf bevat, of niet. Hij formuleerde de paradox die zijn naam kreeg. In deel 1 diende de Barbier van Sevilla als illustratie. Laten we nu kijken naar de catalogus paradox.

Elke bibliotheek herbergt uiteraard vele catalogi. We volgen een bibliothecaris die deze catalogi wil ordenen. Ze ontdekt dat er twee soorten catalogi zijn, namelijk die welke ook zichzelf hebben opgenomen, en die welke dat niet hebben. Dus ze besluit dat er twee verzamelcatalogi moeten komen. Ze maakt eerst een catalogus die alle catalogi heeft opgenomen die zichzelf bevatten. Moet ze de titel van deze verzamelcatalogus ook opnemen in de lijst hiervan? Natuurlijk. Maar bij de verzamelcatalogus die alle catalogi bevatten die niet zichzelf bevatten stuit ze op een dilemma. Moet de titel hiervan opgenomen worden? Wanneer ze dat doet is het geen catalogus meer die alleen titels bevat van catalogi die niet zichzelf bevatten, en hoort de titel daarmee plotseling niet meer in het overzicht. Wanneer ze het niet doet is het een catalogus die niet zichzelf bevat en hoort de titel er wel in. Het kan niet goed gaan.

Op de pagina van het lemma ‘Verzameling (wiskunde)’ van Wikipedia staat de volgende beschrijving. “In de wiskunde is een verzameling een collectie van verschillende objecten, elementen genoemd, die zelf ook weer als wiskundig object wordt beschouwd. Het begrip verzameling is een wiskundig basisbegrip. Dat wil zeggen dat het niet verder gereduceerd kan worden tot een samenstel van andere, nog fundamentelere theoretische wiskundige begrippen (axioma’s), maar dat het zelf axiomatisch gedefinieerd moet worden.” Elementen vormen samen een verzameling. En een verzameling vormt op zichzelf een ondeelbaar geheel. Dat kennen we van verstrengelde ‘deeltjes’. Twee verstrengelde ‘deeltjes’ delen informatie waardoor ze niet meer los van elkaar gezien kunnen worden. Ze vormen een ondeelbaar geheel.

De verzamelingenleer is een wiskundig model. Het gaat over bloemenverzamelingen, catalogi of verzamelingen van ideeën. De leer is een poging om alles in een wiskundig model te vatten. Deel 1 laat zien dat een aanpak met modellen de samenhang, en daarmee de emergentie, eruit haalt. En net als bij Gödels onvolledigheidsstellingen is ook de verzamelingenleer niet sluitend te krijgen.

Er is een verschil tussen de paradox van Gödel en die van Russell. Waar de onvolledigheidsstellingen van Gödel concentreren op de elementen (getallen, deeltjes), focust de verzamelingenleer op de overeenkomsten, de relaties. Maar de verzamelingenleer behandelt die overeenkomsten als geïsoleerde verschijnselen. Kijk nog eens naar de animatie/illustraties over deeltjes en relaties in deel 1. De verleiding zou kunnen bestaan om relaties als geïsoleerde koppelingen te zien. Maar relaties zijn geen verbindingsstukjes tussen deeltjes, ze vormen de overlapping, de superpositie. Probeer te verleiding te weerstaan zowel deeltjes als overeenkomsten als geïsoleerde verschijnselen te zien. Uiteindelijk is het onderscheid tussen deeltjes en relaties niet te maken. Het gaat om de combinatie. De superpositie is fundamenteel.

Alles begint, en eindigt, bij superpositie.