6.26 De onvolledigheidsstellingen van Gödel

Gödel veroorzaakt een schok in de wiskunde (1931)

We kunnen veilig stellen dat wiskunde onze meest logisch samenhangende wetenschap is. Toch kent ook deze wetenschap raadsels. In het begin van de twintigste eeuw hadden de filosofen en wiskundigen Bertrand Russell en Alfred North Whitehead het plan om van de wiskunde een volledig sluitend samenhangend stelsel te maken. Ze begonnen met stellingen die als waar aangenomen werden en vervolgens moesten andere stellingen logisch hieruit volgen. Dat gaat ongeveer als volgt (we nemen hier de axioma’s van Peano):

  • Nul is een getal.
  • Elk getal heeft een opvolger en die opvolger is ook een getal.
  • Nul is niet de opvolger van enig getal.
  • Verschillende getallen hebben verschillende opvolgers.

Het plan verliep voorspoedig tot Kurt Gödel, een wiskundig genie, in 1931 met zijn onvolledigheidsstellingen hier een (spreekwoordelijke) bom onder plaatste. Hij beweerde dat je binnen dit systeem stellingen kunt formuleren die onbeslisbaar zijn. Om dit te bewijzen construeert Gödel een zin Z in de formele taal van een axiomatisch systeem A die over zichzelf beweert: Z is niet bewijsbaar in A. Als deze zin waar is, dan is hij dus niet bewijsbaar, want dat is wat hij beweert. Maar dan is een ware zin niet bewijsbaar, en is het systeem A dus onvolledig. Is de zin echter niet waar, dan is hij dus wel bewijsbaar, en is er een onwaarheid bewijsbaar in A.
Varianten hierop zijn:

  • Deze zin is niet waar
  • Pinokkio zegt: “Mijn neus gaat nu groeien”
  • De Kretenzer Epimenides zegt: “Alle uitspraken van Kretenzers zijn altijd gelogen”
  • Wanneer deze zin waar is, dan bestaat Sinterklaas.
  • Deze zin bestaat niet.
  • De volgende bewering is waar. De vorige is niet waar.
  • Volgens Onno kan alles altijd mislukken, zelfs de mislukking.

Deze uitspraken zijn zelfreferenties. Ze verwijzen naar zichzelf. Ze beschrijven zichzelf met een noodzakelijke eigenschap, zonder welke ze niet hetzelfde zijn. Ze zijn ondeelbaar. De voorbeelden zijn grappig, maar de onvolledigheidsstellingen veroorzaakten een schok in de wiskundewereld.

 

Wiskundig model

 

Visie van samenhang

 

Geïsoleerde elementen

 

 

Samenhangende elementen

 

Geen gedeelde informatie

 

Gedeelde informatie

 

 

Je kunt hier ingewikkeld over doen, of proberen het eenvoudig te houden. Laten we het eenvoudig houden. Een schaar knipt alles, behalve zichzelf. Dat is niet moeilijk. Met wiskundige stellingen kan men een beslisboom maken om een wiskundig bewijs te leveren. Elke nieuwe stelling met het oordeel ‘waar/niet waar’ knipt als een schaar de voorgaande stelling. Totdat alles is opgedeeld en alleen het oordeel, de schaar, overblijft. Dit is ondeelbaar. De stelling van Gödel ‘Z is niet bewijsbaar in A’ is ‘waar’ én ‘niet waar’. De laatste stap die naar zichzelf verwijst is onbeslisbaar. Vergelijk dit met de kleinste (ondeelbare) eenheid van kwantuminformatie, de gedeelde informatie, de verstrengeling. Deze is in superpositie (onbepaald) en is zowel 1 als 0, aan en uit, open en dicht, op en neer, ‘waar’ als ‘niet-waar’.

Het stelsel van de wiskunde is een model van de werkelijkheid. Berekeningen in de formele wiskunde met exact dezelfde elementen geven exact dezelfde uitkomsten. Er gaat niets verloren. Er wordt niets toegevoegd. Wiskunde kent geen emergentie.  Reductie heeft alle samenhang verbroken. Ze kent, in tegenstelling tot de werkelijkheid, geïsoleerde elementen. Alleen maar geïsoleerde elementen. In een formeel wiskundig model is alle superpositie eruit gehaald. Hierdoor is het volledig voorspelbaar en berekenbaar. De verwijderde gedeelde informatie is echter niet verdwenen. Dat zou in strijd zijn met de stelling van behoud van informatie. Net als bij Maxwells demon is deze informatie overgedragen naar (wordt nu gedeeld met) de waarnemer die daarmee kennis heeft over het systeem. Het model eindigt bij de kleinste eenheid van informatie. Deze is ondeelbaar en onbeslisbaar.

Alles eindigt en begint bij superpositie.

De wiskunde is prachtig zoals ze is. Maar inderdaad onvolledig voor het beschrijven van de emergente wekelijkheid. Daarvoor mist de gedeelde informatie, de samenhang.

In het kort:

  • Kurt Gödel ontdekte dat het niet mogelijk is om een volledig sluitend wiskundig stelsel te maken. Hij formuleerde de
  • Zelfreferenties zijn stellingen die naar zichzelf verwijzen. Ze zijn ondeelbaar én onbeslisbaar. Ze zijn zowel ‘waar’ als ‘niet waar’.
  • De kleinste, ondeelbare eenheid van informatie is de gedeelde informatie. Ze bevindt zich in een superpositie. Ze is zowel ‘waar’ als ‘niet waar’.
  • Het formele wiskundige model lijkt te eindigen bij de superpositie die niet meer te reduceren is.
  • Bij waarneming wordt informatie uit het systeem overgedragen aan de waarnemer die daarmee kennis krijgt over het systeem.